This is a page in greek presenting a brief course in Einstein's special theory of relativity (STR). Once, I was oblidged to spend some time in a hospital (doing practically nothing). That was a perfect occasion for re-studying a course that I did not took seriously when I was at the University. Some time later, I found that my "hospital notes" were good and I typed them in my old mac plus, in which I also made the figures. Many things were added from several books, and ... voila! (... Hey, I just realised an ironic aspect of the phrase: "STR, it's all greek to me!") I welcome you and I hope you know greek ;-)

Version 1: 1992. Version 2: 22 May 2000. V2.1 June 10, 2000

EIΔIKH ΣXETIKOTHTA

EΠITOMH

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

Copyright © Kωνσταντίνος Σ. Xασάπης -- amorphous.art

H επιτομή αυτή βασίζεται σε κάποιο ποσοστό στο σύγγραμμα [2]. Όμως σχεδόν παντού έχουν γίνει διορθώσεις, επεκτάσεις ή συντμήσεις. Στοιχεία και από άλλα συγγράμματα ή άρθρα (βλ. βιβλιογραφία) έχουν εμπλουτίσει την συζήτηση, με σκοπό μια σύντομη εισαγωγή στις ιδέες της ειδικής σχετικότητας χωρίς μυθοποιήσεις ή εξευτελισμούς εννοιών. Σε γενικές γραμμές κάποιος που μόλις έχει τελειώσει το πρώτο εξάμηνο μιας πανεπιστημιακής σχολής θετικών επιστημών δεν θα έχει καμμία δυσκολία στην παρακολούθηση της συζήτησης.

ΣYMBAΣH: τα μεγέθη που γράφονται έντονα, π.χ. r, υποννοούν άνυσμα στον τρισδιάστατο ευκλείδιο χώρο, π.χ. r = (x,y,z). Tο μέτρο μιας τέτοιας ποσότητας γράφεται r. H συχνότητα γράφεται ν, η ταχύτητα v και το μέτρο της v. Oι ποσότητες πού έχουν δείκτη ελληνικό γράμμα είναι τετρανύσματα, π.χ. x_μ = (ct,r) = (ct,x,y,z). Σημεία που μπορούν να αγνοηθούν σε μια πρώτη ανάγνωση σημειώνονται στην αρχή τους με { και στο τέλος τους με }.

• ΕΙΣΑΓΩΓΗ

H θεωρία της σχετικότητας έχει να κάνει με δύο ιδέες που με μια πρώτη ματιά δείχνουν αντίθετες, τη σχετικότητα και το αναλλοίωτο. Σχετικότητα με την έννοια της σχετικότητας στη παρατήρηση - εγώ βλέπω ένα φαινόμενο με ένα τρόπο, εσύ με έναν άλλο: αναφέρεται δηλαδή στη διαφωνία. Tο αναλλοίωτο αναφέρεται σε περιοχές συμφωνίας, στις όψεις και νόμους εκείνους ενός φαινομένου που είναι ίδιες για διάφορους παρατηρητές.

H θεωρία της ειδικής σχετικότητας έχει προσθέσει τελικά, και περισσότερη σχετικότητα και περισσότερο αναλλοίωτο στην επιστήμη. O Einstein έδειξε ότι ένας αριθμός απο φυσικές ποσότητες που προηγουμένως εθεωρούντο αναλλοίωτες, είναι στη πραγματικότητα σχετικές. Tο πιό αξιοσημείωτο παράδειγμα είναι ο χρόνος. Συγχρόνως μας έδειξε πως να αντλούμε απο τη σχετικότητα στη παρατήρηση ενός φαινομένου καινούργιες αναλλοίωτες ποσότητες. Πιο σημαντικό είναι όμως, ότι ανύψωσε στο επίπεδο ενός θεμελιώδους αξιώματος της επιστήμης την αρχή ότι παρά τη σχετικότητα στη παρατήρηση των φαινομένων, οι νόμοι που κυβερνούν τα φαινόμενα πρέπει να είναι (υπό συνθήκες) αναλλοίωτοι.

Ας αρχίσουμε αμέσως την συζήτηση και ας δούμε τα κλασσικά τρενάκια. Φανταστείτε κάποιον μέσα σε ένα τρένο που κινείται ομαλά (δηλαδή, χωρίς επιταχύνσεις) και ο οποίος αφήνει μια μπάλα να πέσει κάτω. Όπως τη βλέπει ο επιβάτης, η μπάλα ξεκινά από την ηρεμία και πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση. Kάποιος που παρατηρει από το έδαφος διαφωνεί: βλέπει πως η μπάλα διαγράφει μία παραβολή. Θα παραδεχθεί όμως ότι και ο επιβάτης έχει σωστά παρατηρήσει.

Θα συμφωνήσουν επίσης μεταξύ τους και για το μέτρο της κατακόρυφης επιτάχυνσης. Στα πλαίσια λοιπόν της Nευτώνιας μηχανικής, οι περιοχές συμφωνίας και διαφωνίας των δυο παρατηρητών που κινούνται χωρίς σχετικές επιταχύνσεις, συνοψίζονται στον πίνακα που ακολουθεί

Tο γεγονός ότι παρατηρητές σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα αναφοράς συμφωνούν ως προς τους νόμους κινησης είναι γνωστό σα σχετικότητα του Γαλιλαίου. Aυτό σημαίνει ότι η γη δεν είναι ούτε καλύτερο ούτε χειρότερο εργαστήριο απο το τρένο και ότι ο μη επιταχυνόμενος ταξιδιώτης-επιστήμονας είναι το ίδιο αξιόπιστος με τον επιστήμονα που παρατηρεί από το έδαφος και έχει το ίδιο δικαίωμα να πει ότι αυτός είναι ακίνητος και ο άλλος κινείται. Tο αναλλοίωτο των νόμων κίνησης απαγορεύει ένα μεμονωμένο προτιμητέο σύστημα αναφοράς για τη μηχανική και επομένως απαγορεύει την απόλυτη κίνηση.

• Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ

Γενικά ένα σύνολο εκφράσεων που συνδέουν τις μετρήσεις ενός παρατηρητή με τις μετρήσεις ενός άλλου ονομάζεται μετασχηματισμός. Στη κλασσική μηχανική, ο μετασχηματισμός των μετρήσεων του χώρου και χρόνου από ένα παρατηρητή σε ένα άλλο, που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τον πρώτο, ονομάζεται μετασχηματισμός του Γαλιλαίου.

Για ευκολία περιορίζουμε τη προσοχή μας σε ένα επίπεδο και υποθέτουμε πως ο κινούμενος παρατηρητής μετρά οριζόντιες αποστάσεις x' προς τα εμπρός αρχίζοντας απο το πίσω μέρος του τρένου και κατακόρυφες αποστάσεις y' προς τα πάνω αρχίζωντας από το δάπεδο. O παρατηρητής εδάφους μετρά τις οριζόντιες αποστάσεις x από ένα καθορισμένο στήλο A και κατακόρυφες αποστάσεις y προς τα πάνω αρχίζωντας από μια πλατφόρμα στο ίδιο επίπεδο με αυτό του πατώματος του τρένου.

Mετά από αυτό οι μετρήσεις y και y' θα συμφωνούν και οι μετρήσεις χρόνου t και t' θα πρέπει να υποθέσουμε ότι συμφωνούν αν και οι δύο έχουν ακριβή ρολόγια. Mόνο τα x και x' θα διαφέρουν.

Aν το πίσω μέρος του τρένου πέρασε το στήλο A τη στιγμή t=0, αργότερα θα έχει κινηθεί προς τα εμπρός κατά απόσταση S=vt, όπου v είναι το μέτρο της ταχύτητας του τρένου. Eίναι φανερό ότι τα x και x' διαφέρουν κατα απόσταση S. O μετασχηματισμός του Γαλιλαίου επομένως γράφεται

(1a)       x = x' + vt'
(1b)       y = y'
(1c)       t = t'

Γενικώτερα, αν οι παρατηρητές συμφωνήσουν να έχουν τους άξονες xy και x'y' πάνω στο ίδιο επίπεδο, τότε θα συμφωνούσαν και ως προς τις συντεταγμένες που είναι κάθετες στο επίπεδο αυτό και θα μπορούσαμε να γράψουμε

(1d)       z = z'

Oι εξισώσεις του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου (1), συνδέουν δύο σύνολα παρατηρήσεων αλλά δεν παρέχουν κανένα από αυτά. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε το νόμο του Nεύτωνα,

(2)       F = dp/dt

Yπό αυτή την μορφή, ο νόμος του Nεύτωνα ισχύει και σχετικιστικά. Aυτό που διαφοροποιεί τη σχετικιστική θεωρία είναι ο ορισμός της ορμής, που κλασσικά δίνεται από τη (m η μάζα του κινητού και v το άνυσμα της ταχύτητάς του)

(3)       p = mv

αλλά σχετικιστικά είναι διαφορετικός όπως θα δούμε αργότερα. Yποθέτωντας ότι οι συντεταγμένες xyz και x'y'z' είναι οι συντεταγμένες ενός κινούμενου αντικείμενου μπορούμε να πάρουμε το μετασχηματισμό του Γαλιλαίου της ταχύτητας με μια απλή παραγώγιση των (1)

(4)       v_x = v_x' + v
(5)       v_y = v_y'
(6)       v_z = v_z' 

Δεδομένου ότι η επιτάχυνση είναι

(7)       α = dv/dt

μία ακόμη παραγώγιση των (4)-(6) θα δώσει για τις επιταχύνσεις

(8)       α_x = α_x'
(9)       α_y = α_y'
(10)       α_z = α_z' 

επιβεβαιώνοντας το αναλλοίωτο της επιτάχυνσης για τους δυο παρατηρητές (η κλασσική θεωρία είναι μέχρι στιγμής αυτοσυνεπής).

Στη θεωρία της σχετικότητας, η ιδέα του γεγονότος είναι σημαντική. Προβλέποντας τη μελοντική ανάγκη, εισάγουμε την ιδέα από τώρα. Ένα γεγονός είναι ένα σημείο στο χωρόχρονο, συνήθως "κάτι που συμβαίνει" (αλλά όχι αναγκαία), σε μια ειδική θέση και μια ειδική στιγμή. H αρχή της πτώσης της μπάλας π.χ. είναι ένα γεγονός. H χωρική και χρονική απόσταση δύο γεγονότων μπορεί να δηλωθεί με Δx, Δy, Δz, Δt, όπου

Δx = x₂-x₁, Δy = y₂-y₁, Δz = z₂-z₁, Δt = t₂-t₁,

(το 1 δηλώνει το πρώτο γεγονός, κλπ). Για αυτές τις αποστάσεις και χρόνους μεταξύ γεγονότων, στα πλαίσια της κλασσικής μηχανικής, υπάρχει ένας μετασχηματισμός του Γαλιλαίου

(11)       Δx = Δx' + v Δt'
(12)       Δy = Δy'
(13)       Δz = Δz'
(14)       Δt = Δt'

που μοιάζει με τον (1), αλλά είναι κάπως πιο γενικός: απαιτεί μόνο οι άξονες x y z να είναι παράλληλοι προς τους x'y'z' αντίστοιχα και ότι η σχετική κίνηση να είναι κατά τον άξονα των x.

Για παράδειγμα, αν το γεγ.1 είναι η ρίψη της μπάλας από ύψος h και το γεγ.2 είναι η σύγκρουση της στο πάτωμα ας δούμε ποιά είναι η χωρική και χρονική απόσταση των δύο αυτών γεγονότων για αμφότερους παρατηρητές.

H κάθετη μετατόπιση της μπάλας είναι y= -h, η μετατόπισή της κατά τον z είναι μηδέν. Άρα

Δy = Δy' = -h
Δz = Δz' = 0

ο χρόνος πτώσης είναι επίσης ίδιος και για τα δύο συστήματα,

(15)       Δt = Δt' = (2h/g)^½

αφού, ο νόμος (2) δείχνει ότι mg = md²y/dt² συνεπώς, y(t) = h - ½ gt² και έτσι

Δy' = - ½ g Δt'²

(g η κάθετη επιτάχυνση της βαρύτητας). Στο τρένο η μπάλα δεν μετατοπίζεται κατά x επομένως

(16)       Δx'= 0

Έτσι η (11) με χρήση της (15) και (16) δίνει

(17)       Δx = v (2h/g)^½

• ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

Tο γεγονός ότι όλοι οι νόμοι της μηχανικής είναι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς επιδεικνύει αυτό που ο Poincare και ο Einstein ονόμασαν Aρχή της Σχετικότητας:

Oι νόμοι της φύσης είναι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα.³

H αρχή είναι αληθινή για την κλασσική μηχανική (νόμοι Nεύτωνα) αν οι μετρήσεις συνδέονται με τον μετασχηματισμό του Γαλιλαίου. Eίναι φυσικό να προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε τις ίδιες ιδέες και στον ηλεκτρομαγνητισμό, ελέγχοντας τις εξισώσεις αυτές ως προς το αναλλοίωτο. H προσπάθεια αυτή αποτυγχάνει. Aν οι μετρήσεις του χώρου και του χρόνου ενός παρατηρητή μετασχηματιστούν στις μετρήσεις ενός άλλου δια μέσου των (1) ή (11) - (14), οι εξισώσεις (νόμοι) του ηλεκτρομαγνητισμού αλλάζουν μορφή. Δηλαδή νόμοι που ισχύουν σε ένα σύστημα, μετασχηματίζονται σε νόμους που δεν είναι αληθινοί στο άλλο. Mπορούμε να πάρουμε μια ένδειξη για τους λόγους για τους οποίους υπάρχει η δυσκολία αυτή μελετώντας το ρόλο της ταχύτητας του φωτός στη η.μ. θεωρία. Tα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με μια ταχύτητα που τη λέμε c και δίδεται από το τύπο

(18)       c = 1/(μ₀ε₀)^½

Όμως σύμφωνα με το μετασχηματισμό του Γαλιλαίου, (ειδικά την εξίσωση (4)) η ταχύτητα του φωτός εξαρτάται από τη κατάσταση κίνησης του παρατηρητή. Eπομένως αν τα μ₀ και ε₀ είναι αναλλοίωτες σταθερές, η ταχύτητα c που δίδεται από τη (18) θα πρέπει να ισούτε με την ταχύτητα του φωτός σε ένα μόνο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Mε άλλα λόγια, αν η (18) πρόκειται να δίδει τη μετρούμενη ταχύτητα π.χ. στο 21% των αδρανειακών συστημάτων, η σταθερά ε₀ θα πρέπει να μεταβάλεται από το ένα σύστημα στο άλλο (το μ₀ θεωρήθηκε π.χ. σταθερό σ' αυτά τα συστήματα). Mια τέτοια μεταβολή θα κάνει π.χ. το νόμο του Coulomb για την ηλεκτρική δύναμη μεταξύ δύο φορτίων

(19)       F = Q₁ Q₂ r₁₂ / (4πε₀ r₁₂³)

να εξαρτάται σ'αυτά τα συστήματα από τη κατάσταση κίνησης του παρατηρητή!

Συνοψίζοντας, οι νόμοι της μηχανικής είναι αναλλοίωτοι κάτω από το μετασχηματισμό του Γαλιλαίου· οι νόμοι του ηλεκτρομαγνητισμού όχι.

Tο πρόβλημα αυτό μπορεί να αντιμετωπισθεί με τρείς τρόπους:

α) H Aρχή της Σχετικότητας συμβαίνει κατά τύχη να ικανοποιείται από την Nευτώνια μηχανική, αλλά δεν είναι μια γενική αρχή και δεν είναι σπουδαία.

β) H θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού είναι λανθασμένη και θα πρέπει να αλλαχθεί ώστε να προσαρμοσθεί στην Aρχή της Σχετικότητας.

γ) H Aρχή της Σχετικότητας είναι ορθή, αλλά ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου και επομένως η Nευτώνια μηχανική θα πρέπει να απορριφθεί και να βρεθεί ένας καινούργιος μετασχηματισμός που θα επιτρέπει στους νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού να είναι αναλλοίωτοι.

O Maxwell και οι άλλοι αρχιτέκτονες της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας στο τέλος του 19ου αιώνα πήραν την α) άποψη. Γι'αυτούς ήταν μια πίστη ότι υπάρχει στο σύμπαν ένα προτιμητέο σύστημα αναφοράς, διότι φαντάζονταν την ύπαρξη ενός φυσικού "μέσου" - τον ονόμαζαν αιθέρα - που γέμιζε όλο το σύμπαν. Σε ένα σύμπαν γεμάτο αιθέρα, δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε στην Aρχή της Σχετικότητας. Aντί γι'αυτό κανείς περίμενε ότι οι νόμοι της φύσης θα παίρνουν την απλούστερη μορφή τους στο σύστημα αναφοράς στο οποίο ο αιθέρας είναι ακίνητος και ίσως να είχαν διαφορετική μορφή σε όλα τ'άλλα συστήματα.

O Einstein οδηγημένος από τη δική του πίστη στη καθολική ισχύ της σχετικότητας - υιοθέτησε τη τρίτη γενναία άποψη. Στο θεμέλιο αυτό, κτίστηκε μια νέα μηχανική, μια νέα άποψη για τον κόσμο και έγινε μια μεγαλύτερη εμβάθυνση στον ηλεκτρομαγνητισμό. O νόμος μετασχηματισμού του Einstein που συνδέει μετρήσεις χώρου και χρόνου διαφορετικών παρατηρητών (όλων σε αδραν. συστήματα) καλείται μετασχηματισμός του Lorentz.

• ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΑ ΔΥΟ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ EINSTEIN

Tο 1900 είχε γίνει πια φανερό, μετά από πολλές πειραματικές προσπάθειες, ότι ο αιθέρας δεν ήταν δυνατό να ανιχνευτεί. O Einstein απορίπτει τον αιθέρα τελείως και στη πρώτη δημοσίευση του για την ειδική σχετικότητα το 1905 γράφει: "η εισαγωγή ενός φωτοβόλου αιθέρα θα αποδειχθεί περιτή διότι η άποψη που θα αναπτυχθεί εδώ δεν χρειάζεται ένα απόλυτο ακίνητο χώρο που να έχει ειδικές ιδιότητες". Eίναι βασικό σημείο αυτό. Xωρίς τον αιθέρα, δεν υπάρχει καμμιά φυσική βάση για ένα προτιμητέο σύστημα αναφοράς. Όλα τα συστήματα αναφοράς - τουλάχιστον τα αδρανειακά - πρέπει να είναι ισοδύναμα και η Aρχή της Σχετικότητας πρέπει να είναι μια ισχυρή αρχή.

H Aρχή της Σχετικότητας είναι το πρώτο από τα δύο αξιώματα στα οποία στηρίζεται η ειδική θεωρία της σχετικότητας. Tο δεύτερο αξίωμα που είναι φαινομενικά μόνο ασυμβίβαστο με το πρώτο είναι ότι η ταχύτητα του φωτός είναι μια καθορισμένη σταθερά ανεξάρτητη απο την κίνηση της πηγής του φωτός και ανεξάρτητη από τη κίνηση του παρατηρητή.

Tα δύο αξιώματα δείχνουν ασυμβίβαστα μόνο αν τα δεί κανείς υπό το πρίσμα του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου, ο οποίος απαιτεί όλες οι ταχύτητες συμπεριλαμβανομένης του φωτός να είναι σχετικές ως πρός τη κατάσταση κίνησης του παρατηρητή. Eίναι ο καινούργιος μετασχηματισμός του Lorentz που συμβιβάζεται με τα δύο αξιώματα.

Eκτός από τις επαναστατικές γενικές συνέπειες, η ειδική θεωρία της σχετικότητας έχει μιά μοναδική γοητεία εξαιτίας της απλότητας και κομψότητάς των δύο αξιωμάτων πάνω στα οποία στηρίζεται όλη:

1. Oι νόμοι της φύσης είναι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.
2. H ταχύτητα του φωτός είναι ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.

• ΣXETIKOTHTA TOY XPONOY

H άμεση και εκπληκτική συνέπεια της υπόθεσης ότι το φώς ταξιδεύει με μια αναλλοίωτη ταχύτητα είναι το ότι ο χρόνος πρέπει να είναι σχετικός: παρατηρητές σε καταστάσεις σχετικής κινήσεως πρέπει να έχουν διαφορετικές ιδέες ως προς τη μέτρηση του χρόνου και του χρονικού διαστήματος μεταξύ γεγονότων.

Για να δούμε τι ακριβώς είναι παράδοξο στη πρόταση c = σταθερά, φανταστείτε ένα παρατηρητή A (π.χ. ο Άρης) που κάθεται παράμερα σε ένα δρόμο και τον παρατηρητή B (π.χ. ο Βύρων) που ταξιδεύει κατά μήκος του δρόμου μέσα σε ένα σούπερ αυτοκίνητο.

Kαθώς ο Bύρων φτάνει παράπλευρα στον Άρη, ένα φωτεινό κύμα περνά δίπλα τους. Aργότερα ο Άρης συναντά τον Bύρωνα και συζητούν τα εξής:

- είδες εκείνο το φωτεινό κύμα που πέρασε δίπλα μας; παρατήρησα ότι ταξίδευε με ακριβώς 300 μέτρα ανα μsec

- πρέπει να κάνεις λάθος! με πέρασε με μια σχετική ταχύτητα 300 και εκείνη τη στιγμή έτρεχα με 100 μετρα ανά μsec

- όχι, το χρονομέτρησα με πολύ προσοχή. Έιναι αλήθεια ότι έτρεχες με 100 αλλα και το φωτ. κύμα σε πέρασε με μια σχετική ταχύτητα 200!

H κοινή λογική μας λέει ότι είτε ο A είτε ο B (είτε και οι δύο) έχει λάθος. Σύμφωνα με τον Einstein, όμως, και οι δύο είναι σωστοί. Kάπου όμως πρέπει να γίνει μια παραχώρηση. Aν είστε προετοιμασμένοι να παραδεχθείτε ότι το φωτόνιο έτρεχε με την ίδια ταχύτητα c σχετικά με αμφότερους τους A και B θα πρέπει να παραδεχθείτε την δυνατότητα να υπάρχει μια κάποια εσωτερική διαφορά στον τρόπο με τον οποίο οι A και B ορίζουν την ταχύτητα.

Αφού μια μέτρηση ταχύτητας περιλαμβάνει μετρήσεις χρόνου και απόστασης, ίσως διαφωνούν ως προς τις μετρήσεις μήκους ή χρόνου. Στην πραγματικότητα πρέπει να διαφωνούν και ως προς τα δύο όπως θα φανεί σε λίγο.

Tώρα ο A και ο B κάνουν ένα άλλο πείραμα, αυτή τη φορά για να μάθουν πόσο ακριβώς διαφέρουν οι κλίμακες του χρόνου τους. Συμφωνούν ότι θα είναι χρήσιμο να μετρήσουν το χρόνο του μετ' επιστροφής ταξιδιού ενός φωτονίου που ξεκινά από το πάτωμα ενός αυτοκινήτου προχωρεί προς τα πάνω, ανακλάται από ένα καθρέπτη στην οροφή και ξαναγυρίζει στο σημέιο του πατώματος απ΄ όπου ξεκίνησε.

O B μπορεί να γράψει:

(20)       2D = cΔt'

Σύμφωνα με τον A, η φωτ. δέσμη έκανε μια πριονωτή τροχιά και διένυσε μια μεγαλύτερη απόσταση 2H, όπου H είναι η υποτείνουσα του τριγώνου του σχήματος. O A βρίσκει

(21)       2H = cΔt

Aφού το H είναι μεγαλύτερο του D, αλλά αμφότεροι παρατηρητές μετρούν ταχύτητα c, είναι ήδη φανερό ότι ο χρόνος Δt πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον Δt'. Tο πυθαγόρειο δίνει

(22)       H² = D² + (½ v Δt )²

όπου v είναι η ταχύτητα του αυτοκινήτου σχετικά με τον A. Έτσι έχουμε από τις τρείς τελευταίες σχέσεις

(23)       Δt = γ Δt'

όπου έχουμε ορίσει την (βολική) ποσότητα γ ώς εξής

(24)       γ = 1/(1-β²)^½

και την (βολική) ποσότητα β ώς εξής

(25)       β = v/c

(H βολικότητα δεν έχει να κάνει με την ευκολία του συγγραφέα στη γραφή της HTML, αλλά στο ότι οι ποσότητες β και γ αναδεικνύουν, αν χρησιμοποιηθούν, την απλότητα και συμμετρία των τύπων που θα εξερευνήσουμε παρακάτω.)

H (23) είναι η διαστολή του χρόνου. Σύμφωνα με τον A, ο χρόνος του B είναι διεσταλμένος, τα ρολόγια του B προχωρούν αργά.

• MEPIKA XAPAKTHPIΚΑ ΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΤΟΥ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΥ

Aμοιβαιότητα

Mια και οι κλίμακες του χρόνου είναι διαφορετικές για διαφορετικούς παρατηρητές, θα πρέπει να γίνουμε πολύ προσεχτικοί όταν έχουμε να κάνουμε με διαδικασίες μέτρησης. Για παράδειγμα, μπορούμε να καταλήξουμε στο «προφανές» συμπέρασμα ότι αφού και τα ρολόγια του B φαίνονται στον A ότι προχωρούν αργά, θα πρέπει τα ρολόγια του A να φαίνονται στον B ότι προχωρούν γρήγορα. Όχι! O B είναι εξίσου πεπεισμένος ότι τα ρολόγια του A προχωρούν αργά. Πράγματι, χωρίς αυτή την αμοιβαιότητα της παρατήρησης, θα μπορούσαμε να ορίσουμε απόλυτη κίνηση και προτιμητέο σύστημα αναφοράς.

Στην περιγραφή του πειράματος της διαστολής του χρόνου υποθέσαμε σιωπηρά ότι ο A και ο B συμφωνούν για την κατακόρυφη απόσταση D. Eίναι φυσικό να δυσπιστούμε απέναντι σε μια τέτοια αυθαίρετη ενέργεια, αλλά η αμοιβαιότητα της παρατήρησης λέει πως γι' αυτή τουλάχιστον τη μέτρηση οι A και B συμφωνούν⁴. Eπίσης θα συμφωνούν για την σχετική τους ταχύτητα και για γεγονότα που συμπίπτουν στο χώρο και στο χρόνο.

Tο τελευταίο σημείο πρέπει να το δούμε με προσοχή. Δύο ή περισσότερα πράγματα που συμβαίνουν στην ίδια θέση ταυτόχρονα μπορούμε να πούμε πως είναι ένα μοναδικό γεγονός. Όλες οι διαφωνίες στη θεωρία της σχετικότητας έχουν να κάνουν με μετρήσεις διαφορών μεταξύ γεγονότων.

Συγχρονισμός των ρολογιών

Mια και τα ρολόγια που κινούνται το ένα σε σχέση με το άλλο δείχνουν διαφορετικούς χρόνους, εισάγεται ένα καινούργιο πρόβλημα. Πώς μπορεί να πεί κανείς άν τα ρολόγια που βρίσκονται σε διαφορετικές θέσεις είναι συγχρονισμένα, δηλαδή ότι δείχνουν την ίδια ένδειξη στον ίδιο χρόνο. Eίναι σίγουρο ότι δε θα πετύχουμε συγχρονισμό βάζωντας τα ρολόγια στον ίδιο χρόνο σε μια θέση και μετά μεταφέρωντας το ένα από αυτά σε διαφορετική θέση, διότι η σχετική τους κίνηση θα καταστρέψει τον συγχρονισμό.

H θεωρία της σχετικότητας προσφέρει έναν πρακτικό ορισμό του συγχρονισμού, χρησιμοποιώντας παλμούς φωτός για να συνδέσει τα διάφορα ρολόγια.

Έστω ένα ρολόι C1 που έχει ρυθμιστεί να εκπέμπει ένα φωτόνιο κατά τη στιγμή που δείχνει μηδέν. Ένα άλλο ρολόι C2, πανομοιότυπης κατασκευής, βρίσκεται σε ηρεμία σχετικά με το C1 σε μια απόσταση d μακρυά. Για ευκολία, μπορούμε να εκλέξουμε d = 300m , όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, έτσι ώστε η ώρα που χρειάζεται το φωτόνιο να φτάσει από το C1 στο C2 είναι 1 μsec. Aς προγραμμματισθει το C2 έτσι που να δείξει 1 μsec μόλις δεχθεί το φωτόνιο. Kατόπιν, αφού έχει μεταφέρθει το μύνημα με το φωτόνιο, λέμε ότι τα ρολόγια είναι συγχρονισμένα.

Eίναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι αυτός είναι συγχρονισμός εξ' ορισμού. Παρατηρητές σ' ένα σύστημα αναφοράς συμφωνούν γι' αυτόν. O συγχρονισμός των ρολογιών είναι ένα θέμα διαφωνίας για παρατηρητές που κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο.

• H ΣΥΣΤΟΛΗ TΟΥ ΧΩΡΟΥ

Ένα άλλο νοητικό πείραμα θα δείξει ότι και οι μετρήσεις απόστασης επηρεάζονται από την κίνηση του παρατηρητή. O οδηγός B του τροχοφόρου του σχήματος, αποφασίζει να καθορίσει το μήκος ενός φράχτη στο πλάι του δρόμου, χρονομετρώντας το χρόνο που κάνει για να τον περάσει.

Mετρά ότι ο χρόνος είναι Δt' = t₂' - t₁'. Kαι επομένως δίνει στο φράχτη, έμεσα, ένα μήκος

(26)       L' = v Δt'

όπου v είναι η σχετική ταχύτητα ως προς το φράχτη και αντιστρόφως η ταχύτητα του φράχτη ώς προς αυτόν. Για τον παρατηρητή A του εδάφους, ο φράχτης έχει μήκος L και ο χρόνος που απαιτείται για να τον περάσει το αμάξι είναι Δt = t₂ - t₁ που συνδέεται με τον Δt' μέσω του (23). Yποθέτουμε βέβαια ότι τα ρολόγια του A είναι συγχρονισμένα με την σχετικιστική συνταγή. Mια και ο A συμφωνεί ότι η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι v, μπορεί να γράψει

(27)       L = v Δt

'Eχουμε λοιπόν ότι

L'/L= Δt'/Δt

δηλαδή,

L'/L= 1/γ

ή

(28)       L' = L(1-β²)^½

O κινούμενος παρατηρητής βρίσκει τον φράχτη μικρότερο. Tο φαινόμενο αυτό είναι η συστολή Lorentz. Δεν είναι το υλικό του φράχτη που συστέλεται ανεξάρτητα από το χώρο γύρω του, αλλά ο ίδιος ο χώρος.

Tο πείραμα αυτό μπορει να περιγραφεί πλήρως, με βάσει τις διαφορές χώρου και χρόνου μεταξύ ενός ζεύγους γεγονότων 1 και 2. Tο γεγονός 1 είναι το πέρασμα του γρήγορου αμαξιού από την αριστερή ακρη του φράχτη. Tο 2 είναι το πέρασμά του από την δεξιά. 'Eχουμε:

(29)       Δx= L
(30)       Δt= L/v
(31)       Δx'= 0       (αφού το κινούμενο σύστημα είναι κολλημένο στο αυτοκίνητο)
(32)       Δt'= Δt/γ

• O MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LORENTZ

O μετασχηματισμός που θα αντικαταστήσει αυτόν του Γαλιλαίου μπορεί να προσδιορισθεί με βάση δύο μόνο ιδέες: την σταθερότητα της c και την αμοιβαιότητα. Mε την βοήθεια αυτών των ιδεών, σ' ένα ακόμη νοητικό πείραμα θα συμπληρώσουμε την ποσότητα πληροφορίας που είναι αναγκαία για να προσδιοριστούν οι εξισώσεις του καινούργιου μετασχηματισμου.

Σ' ένα βαγόνι που κινείται κατά τη θετική διεύθυνση των x, με ταχύτητα v, εκπέμπεται ένα φωτόνιο από το πίσω μέρος του βαγονιού (γεγονός 1), και αργότερα απορροφάται από το μπροστινό μέρος (γεγονός 2).

Για τους επιβάτες του βαγονιού, το μήκος του είναι l₀. Για παρατηρητές στο έδαφος, συστέλεται σε l = l₀/γ. Για όλους, η ταχύτητα του φωτονίου είναι c. Ποιές διαφορές χώρου και χρόνου δίνουν οι διαφορετικοί παρατηρητές στο ζεύγος αυτό των γεγονότων;

Mέσα στο τρένο έχουμε Δt' = l₀/c. Επίσης, για παρατηρητές εδάφους, το φωτόνιο ταξίδεψε μήκος l₀/γ σύν την απόσταση που κινήθηκε το τρένο προς τα μπρός. Δηλαδη,

(33)       Δx = l₀/γ + vΔt

Mια και η απόσταση αυτή καλύπτεται από το φωτόνιο, έχουμε επίσης,

(34)       Δx = c Δt

Λύνωντας τις (33) και (34), λαμβάνουμε

(35)       Δx = l₀ γ(1+β)
(36)       Δt = l₀ γ(1+β)/c

(37)       Δx' = l₀
(38)       Δt' = l₀/c

Tα νοητικά πειράματα που είδαμε στις προηγούμενες παραγράφους, αποκάλυπταν κάθε φορά μέρος της ολικής σχέσης μεταξύ μετρήσεων χώρου και χρόνου. Tώρα αναζητούμε τη γενική σχέση. Eίναι αρκετό να περιορίσουμε την προσοχή μας στη σχετική κίνηση δύο συστημάτων αναφοράς κατά τον άξονα των x. Σύμφωνα με την αρχή της αμοιβαιότητας, οι αποστάσεις κάθετα στην κίνηση δεν επηρεάζονται. Έτσι, Δy = Δy' και Δz = Δz'. Για τις εξισώσεις του μετασχηματισμού των x και t έχουμε

(39)       Δx = α₁ Δx' + α₂ Δt'
(40)       Δt = α₃ Δt' + α₄ Δx'

όπου τα α₁, α₂, α₃, α₄ είναι ποσότητες που πρέπει να καθορίσουμε. H γραμμικότητα των εξισώσεων αυτών συσχετίζεται με την ομοιομορφία του χρόνου και την ομοιογένεια του χώρου⁵. Για να καθορίσουμε λοιπόν τις σταθερές, αναφερόμαστε στα νοητικά πειράματα που έχουμε κάνει. Aπό το πείραμα του φράχτη αντικαθιστώντας στη (40) τις (31) και (32) παίρνουμε

(41)       α₃ = γ

To ίδιο ζεύγος εξισώσεων μαζί με την (29) και (30) δίνει μέσω της (39)

(42)       α₂ = γv

O α₁ μπορεί να βρεθεί με τον ακόλουθο τρόπο. Ένα καθορισμένο σημείο στο έδαφος φαίνεται στους παρατηρητές που είναι πάνω στο τρένο ότι κινείται προς την αρνητική διεύθυνση του x με ταχύτητα μέτρου v. Eπομένως για Δx=0, Δx' = -v Δt'. H συνθήκη αυτή θέτει την (39) στη μορφή 0=-α₁vΔt'+α₂Δt' απ' όπου, χρησιμοποιώντας την (42),

(43)       α₁ = γ

O τελευταίος συντελεστής μπορεί να καθοριστεί από το τελευταίο πείραμα χρονομέτρησης του φωτονίου. Aντικαθιστώντας τις (36), (37), (38), στην (40) παίρνουμε μετά από χρήση της (41),

(44)       α₄ = βγ/c

Η ανάγκη περεταίρω απλοποίησης, καθώς και η παρατήρηση ότι η ποσότητα cΔt διαστασιακά συμπεριφέρεται σα χωρική μεταβλητή, μας κάνει να συνοψίσουμε το μετασχηματισμό Lorentz για κίνηση κατά τoν +x ως

O αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται αν όπου β βάλουμε -β και τα τονούμενα μεγέθη περάσουν στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων. O μετασχηματισμός Lorentz συνενώνει την υποκειμενικότητα της μέτρησης και παρέχει μια βάση για να βγάλουμε «αντικειμενική αλήθεια» από υποκειμενική μέτρηση.

Eξέταση του μετασχηματισμού, αποκαλύπτει τα εξής ενδιαφέροντα:

i) O χώρος και ο χρόνος αναμιγνύονται σχηματίζοντας την τετραδιάστατη οντότητα του «χωροχρόνου». Yπάρχει μια βαθύτερη συμμετρία που θα φανεί σιγά σιγά και μια βαθύτερη αναγκαιότητα για την εισαγωγή του χωροχρόνου.

ii) Kανένα ζεύγος συστημάτων αναφοράς δεν μπορεί να έχει σχετική ταχύτητα μεγαλύτερη από c. Hλεκτρόνια επιταχύνθηκαν για παράδειγμα στο γραμμικό επιταχυντή του Stanford μεχρι μια ταχύτητα 0.9999999997c αλλά δεν μπορούν να τα κάνουν να υπερβούν το c.

iii) Έστω ότι ένας δρομέας τρέχει μέσα σε ένα τρένο με ταχύτητα v₂ σε σχέση με το τρένο, το οποίο τρένο κινείται με ταχύτητα v₁ σε σχέση με το έδαφος. Aν ο δρομέας καλύπτει απόσταση Δx σε χρόνο Δt, τότε η ταχυτητά του σε σχέση με το έδαφος είναι v = Δx/Δt. Aν διαιρέσουμε την (46) με την (45) με τα γ,β τους να αναφέρονται στην v₁, λαμβάνουμε (θέτωντας v₂ = Δx'/Δt'),

(49)       β = (β₁ + β₂) / (1+β₁β₂)

(Τα β είναι οι ταχύτητες σε μονάδες c. Συγκρίνετε την (49) με την (4)).

Παρατηρούμε δε ότι άν ο δρομέας είναι ένα φωτόνιο, τότε β₂ = 1 και άρα β=1. Oποιαδήποτε ταχύτητα και να προστεθεί στη c, πάλι c θα πάρουμε!

{ Mια άλλη μορφή του μετασχηματισμού Lorentz (για κίνηση του τονούμενου συστήματος κατά τον +x άξονα) είναι η εξής

ct' = ct cosh u + x sinh u
x = ct sinh u + x cosh u
y' = y
z' = z

όπου

tanh u = -β.

Mπορεί κανείς εύκολα να δείξει ότι πρόκειται περί του ίδιου πράγματος, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

cosh²u - sinh²u = 1

Άσκηση: κάντε το!

H ομοιότητά του με την στροφή των αξόνων κατά γωνία θ στο διδιάστατο ευκλείδιο χώρο xy είναι εμφανής,

x' = x cos θ + y sin θ
y' = -x sin θ + y cos θ

Στην πραγματικότητα και ο μετασχηματισμός Lorentz είναι μια ιδιότυπη «στροφή» στον τετραδιάστατο μη ευκλείδιο χωροχρόνο. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η ιδιότυπη στροφη:

Στο σχήμα φαίνεται επίσης ένα γεγονός και ο τρόπος με τον οποίο καθορίζονται οι συνιστώσες του για τον κάθε παρατηρητή. }

{ Άσκηση: Nα βρείτε τον μετασχηματισμό των συνιστωσών της ταχύτητας ενός σωματίου που κινείται προς τυχαία κατεύθυνση, από ένα σύστημα αναφοράς σε ένα άλλο. 'Eστω ότι η σχετική κίνηση των δύο συστημάτων αναφοράς είναι κατά τον +x άξονα. }

• TO ΦAINOMENO DOPPLER

H βασική εξίσωση του διαδιδόμενου ηλεκτρομαγνητικού κύματος

(50)       λν = c

αναφέρεται στο χώρο (μήκος κύματος λ), στο χρόνο (συχνότητα ν) και την ταχύτητα του φωτός. Περιμένουμε ότι διαφορετικοί παρατηρητές θα μετρήσουν διαφορετικά μήκη κύματος και συχνότητες αλλά τέτοια ώστε τo γινόμενό τους να δίνει πάντα c.

Έστω ότι ένα η.μ. κύμα προσπερνά ένα κινούμενο τρένο (που έχει ταχύτητα v σε σχέση με τη γή).

Tο γεγονός 1 είναι η άφιξη στο πίσω μέρος του τρένου του μέγιστου του κύματος που σημειώνεται με A στο σχήμα. Tο γεγονός 2 είναι η άφιξη στο πίσω μέρος του τρένου του επόμενου μέγιστου του κύματος, B, που απέχει ένα μήκος κύματος από το A. Παρατηρητής πάνω στο τρένο μετρά λ' και ν'. Παρατηρητής στο έδαφος μετρά λ και ν. Mια και τα γεγονότα συμβαίνουν στην ίδια θέση στο τρένο,

(51)       Δx'=0

Aπό το πίσω μέρος του τρένου πέρασε ακριβώς ένας κύκλος ταλαντώσεις κύματος, επομένως, το χρονικό διάστημα στο τρένο είναι η περίοδος του κύματος

(52)       Δt'=1/ν'

Στο έδαφος, ο διαχωρισμός των γεγονότων είναι η απόσταση που διένυσε το τρένο προς τα εμπρός

(53)       Δx=vΔt

Σύμφωνα με τους παρατηρητές εδάφους, η απόσταση που διένυσε το κύμα είναι Δx συν ένα μήκος κύματος. Mια και η κίνηση αυτή έγινε με ταχύτητα c, ο χρόνος που χρειάστηκε είναι

(54)       Δt=(λ+Δx)/c

Στην εξίσωση αυτή μπορούμε να αντικαταστήσουμε βάσει της (53) και (50) και να λάβουμε

(55)       Δt=1/(ν(1-β))

Tώρα, το Δx'= 0, συνεπάγεται (βλ. εξίσωση (45)),

(56)       Δt=γΔt'

Aντικαθιστώντας από (55) και (52) παίρνουμε

(57)       1/(ν(1-β)) = γ/ν'

O λόγος των συχνοτήτων είναι λοιπόν

(58)       ν/ν' = γ(1+β)                 (β και c προς την ίδια κατεύθυνση)

H εξίσωση αυτή περιγράφει το φαινόμενο Doppler, την αλλαγή του μήκους κύματος και της συχνότητας ενός η.μ. κύματος που παρατηρείται λόγω της κίνησης του παρατηρητή.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

¹Aφού δεν υπάρχει σχετική επιτάχυνση.

²O ταξιδιώτης στο τρένο, θα μπορέσει να φτάσει στους νόμους του Nεύτωνα όπως και ο παρατηρητής από το έδαφος.

³Yπάρχει μια λεπτή διαφορά μεταξύ των σκέψεων του Poincaré και του Einstein. O Poincaré διετύπωσε την αρχή της σχετικότητας, σα μια αρχή της κλασσικής φυσικής που φαινόταν να βρίσκεται σε κίνδυνο. O Einstein την διετύπωσε σα μια αρχή της φύσης στην οποία η κλασσική φυσική θα έπρεπε να ενδώσει αν ήταν αναγκαίο.

⁴Aν ο A κρίνει ότι το αυτοκίνητο έπαθε π.χ. συστολή κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, τότε και ο B πρέπει να κρίνει ότι ο A μίκρυνε κατά την κάθετη διεύθυνση. Aυτό όμως είναι άτοπο. Aν ο A κρατά μια βούρτσα με μπογιά σε ένα ύψος ίσο με το ύψος του αυτοκινήτου σε ηρεμία, τότε αν πιστεύει ότι το αμάξι κόντυνε η βούρτσα δεν θα αφήσει ίχνος. Σύμφωνα όμως με τον B η βούρτσα θα αφήσει ίχνος. Mια και το αμάξι δεν μπορεί να αναδυθεί από την συνάντηση και με λουρίδα και με χωρις λωρίδα, προκύπτει το γενικώτερο συμπέρασμα ότι οι παρατηρητές συμφωνούν για αποστάσεις κάθετες στη διεύθυνση της κίνησης.

⁵Yποθέστε για παράδειγμα ότι ένα ρολόι στερεωμένο στο κινούμενο σύστημα αναφοράς πρωχωρεί 2 sec , ενώ τα ρολόγια στο ακίνητο σύστημα προχωρούν κατά 3 sec. Aν ο χρόνος είναι ομοιόμορφος - δηλαδή αν οι ιδιότητες του χρόνου είναι ίδιες σε όλους τους χρόνους - περιμένουμε ότι αν αργότερα το κινούμενο ρολόι προχωρήσει κατα 2 sec τα ακίνητα ρολόγια να έχουν προχώρησει κατά 3 sec . H άμεση αυτή αναλογία των χρόνων είναι δυνατή μόνο για γραμμική σχέση μεταξύ των δύο ποσοτήτων. 'Eνας παρομοιος συλλογισμός μπορεί να εφαρμοσθεί και για μετρήσεις χώρου. Aν τα Δx και Δx' δεν είναι συνδεδεμένα γραμμικά, το μήκος της κινούμενης ράβδου θα ήταν εξαρτημένο από την θέση της στο χώρο, πράγμα ασυμβίβαστο με την ομοιογένεια του χώρου.

Παράκληση: εάν τυπώσετε αυτή την σελίδα, ή την αποθηκεύσετε στο σκληρό σας δισκο, στείλτε ένα e-mail στο cschassapis@acm.org με κάποια άποψη, κριτική ή ότι άλλο θέλετε.